数学笔记19——数值积分。数学笔记19——数值积分。

哎呀是数值积分

  数值积分是计算定积分数值的法子及辩护。在数学分析中,给定函数的定积分的乘除不连续实惠的。许多定积分不克用一度了解的积分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学概念,用数值逼近的方近似计算给定的定积分值。借助被电子计算设备,数值积分可以高速而卓有成效地精打细算复杂的积分。

  数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的方法成立在牛顿-莱布尼兹公式之上。然而,原函数可以用初等函数表示的函数为数不多,大部分的可积函数的积分无法用新当函数表示,甚至束手无策来分析表达式。例如常见的正态分布函数:

图片 1

的原函数便无法用新当函数表示。

  不仅如此,在成千上万实际上利用中,只能解积分函数在某些特定点的取值,比如天测量中之气温、湿度、气压等,医学测量中之血压、浓度等等。另外,积分函数出或是某某微分方程的解除。由于广大微分方程只能数值求解,因此只好解函数在一些点达的取值。这时是心有余而力不足用要原函数的道计算函数的积分的。

  另外,当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时,牛顿-莱布尼兹公式不再适用,只能使还常见的格林公式要斯托克斯公式,以转账为比逊色维数上之积分,但不得不用来少数气象。因此,只能采用数值积分计算函数的临似值。

哎呀是数值积分

  数值积分是计算定积分数值的计与理论。在数学分析中,给定函数的定积分的算计不连续实惠之。许多定积分不克就此就掌握的积分公式得到精确值。数值积分是运用黎曼积分等数学概念,用数值逼近的法子近似计算给定的定积分值。借助被电子计算设备,数值积分可以快捷而中地计算复杂的积分。

  数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的计成立于牛顿-莱布尼兹公式之上。然而,原函数可以用初等函数表示的函数为数不多,大部分之可积函数的积分无法用新当函数表示,甚至束手无策来分析表达式。例如常见的正态分布函数:

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的原函数就无法用新当函数表示。

  不仅如此,在博实际应用被,只能解积分函数在某些特定点的取值,比如天测量中的气温、湿度、气压等,医学测量中之血压、浓度等等。另外,积分函数起或是某微分方程的消。由于多微分方程只能数值求解,因此只好解函数在某些点达成的取值。这时是力不从心用要原函数的点子计算函数的积分的。

  另外,当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时,牛顿-莱布尼兹公式不再适用,只能以还普遍的格林公式要斯托克斯公式,以转账为于逊色维数上之积分,但只能用于少数景。因此,只能利用数值积分计算函数的守似值。

数值积分的宽广公式

数值积分的广大公式

矩形公式

  就是普遍的黎曼以及,在切割小矩形时,可挑选使用左矩形或右矩形。

  左矩形公式:

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  右矩形公式:

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  左右矩形公式的分如下图所示:

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左矩形公式

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右矩形公式

矩形公式

  就是广大的黎曼与,在割小矩形时,可卜采取左矩形或右矩形。

  左矩形公式:

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  右矩形公式:

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  左右矩形公式的界别如下图所示:

图片 9

左矩形公式

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下手矩形公式

梯形公式 

  和矩形公式不同,梯形公式直接将触及连,当Δx→∞时,这看起又接近受跟忠实面积:

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图片 12

梯形公式 

  和矩形公式不同,梯形公式直接用沾总是,当Δx→∞时,这看起重新仿佛于与诚实面积:

图片 13

图片 14

辛普森公式

  辛普森公式是更尖端并且于骨子里被精确度更胜之公式,它的核心思想是面积≈
底边长 ×
平均高度。高度是产生且重之,为了计算平均高度,试图将点用抛物线相连,每个抛物线连接三只相邻的触及:

图片 15

  这里一直给闹结果。上图从x0到x2的面积可计为:

图片 16

  总面积:

图片 17

辛普森公式

  辛普森公式是再次高级并且于骨子里被精确度更强之公式,它的核心思想是面积≈
底边长 ×
平均高度。高度是起且重之,为了计算平均高度,试图将点用抛物线相连,每个抛物线连接三独相邻的触及:

图片 18

  这里一直给来结果。上图从x0到x2的面积可计为:

图片 19

  总面积:

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数值积分的应用

数值积分的利用

示例1

  计算y = 1/x当x = 1和 x =
2之间和x轴围成的面积:

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  下面是例外计算方法的对立统一。

  实际面积:

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  梯形公式:

 图片 23

  辛普森公式:

图片 24

  这个例子中,辛普森公式远较梯形公式精确,实际上,|真实值
– 辛普森值| ≈ (Δx)4,如果Δx =
0.1,辛普森值将大接近真实值。

示例1

  计算y = 1/x以x = 1和 x =
2之间以及x轴围成的面积:

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  下面是殊计算方式的相比。

  实际面积:

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  梯形公式:

 图片 27

  辛普森公式:

图片 28

  这个例子中,辛普森公式远较梯形公式精确,实际上,|真实值
– 辛普森值| ≈ (Δx)4,如果Δx =
0.1,辛普森值将很相近真实值。

示例2

  用梯形公式和辛普森公式估算
图片 29,Δx=π/4

  梯形公式:

 图片 30

  辛普森公式:

 图片 31


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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示例2

  用梯形公式和辛普森公式估算
图片 32,Δx=π/4

  梯形公式:

 图片 33

  辛普森公式:

 图片 34


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