澳门网上娱乐读书笔记:neuralnetworksanddeeplearning chapter3(1)读书笔记:neuralnetworksanddeeplearning chapter3(1)

(本文是因
neuralnetworksanddeeplearning
这按照开的老三章节Improving the way neural networks
learn整而改为的读书笔记,根据个人口味做了删除)

(本文是基于
neuralnetworksanddeeplearning
这仍开之老三章节Improving the way neural networks
learn整理而变成的读书笔记,根据个人口味做了删减)

高达一样段中,我们知晓了神经网络中最好紧要的算法:后朝着传来算法(BP)。它使神经网络的训成为可能,是其余高档算法的基本功。今天,我们而累上外方式,这些方法教网络的训练结果再好。

上同样节中,我们懂得了神经网络中极其重大之算法:后朝着传播算法(BP)。它使得神经网络的训成为可能,是外高档算法的根底。今天,我们设继承学习外措施,这些主意让网络的训结果再次好。

这些艺术包括:

这些方式包括:

  • 再次好之代价函数:交叉熵(cross-entropy)函数
  • 季栽标准方法:L1L2dropout与数据集的人造增广
  • 如出一辙种更好的初始化权值的法门
  • 无异于多重选 hyper-parameters 的开导策略
  • 其它有稍稍技巧
  • 重好的代价函数:交叉熵(cross-entropy)函数
  • 季种植标准方法:L1L2dropout与数据集的人工增广
  • 一律栽更好之初始化权值的艺术
  • 一致名目繁多选 hyper-parameters 的诱导策略
  • 旁组成部分粗技巧

交叉熵函数(cross-entropy)

实际在中,我们还见面来诸如此类的更:当遇到错误的时段,往往是咱们学到物最好多之时节,而使我们对好的左模糊不到底,进步反而会转移缓。

一致地,我们愿意神经网络能够从漏洞百出受还快地读。那其实情形是哪些的也罢?来拘禁一个简单易行的事例。

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本条例子只是包含一个神经元,并且只是发一个输入。我们会训练之神经元,使得:当输入为
1 时,输出为 0。我们将权重和谬误分别初始化为 0.6 和 0.9。当输入为 1
时,网络出口为 0.82 (\(\frac{1}{1+e^{-1.5}}
\approx
0.82\))。我们采取平方差函数来训练网络,并拿学习率设为 0.15。

斯网络其实已落伍成一个线性回归模型。下面用一个动画来演示网络的教练过程:

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从中我们得观看,神经元快速地修参数,最终输出 0.09 (已经老相近 0
了)。现在,我们用参数和偏差初始化为 2.0,网络的开输出为 0.98
(跟我们怀念如果的结果偏离大远),学习率依然为
0.15。看看就同不好网络会怎么学习:

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尽管学习率和上次一律,但网络同样开始学的速却百般缓慢,在尽开头之 150
次等学习里,参数和谬误几乎从不改观,之后,学习进度突然增高,神经元的输出快速下跌到类似
0.0。这无异于点十分令人别,因为当神经元的出口严重错误时,学习之快慢反而不是生快。

下面我们用了解问题时有发生的来源于。神经元以教练的下,学习进度除了被学习率影响外,还叫偏导数
\(\partial C/ \partial w\) 和 \(\partial C / \partial b\)
影响。所以,学习进度颇缓慢,也即是偏导数的价太小。根据
\[ C=\frac{(y-a)^2}{2} \tag{54}
\]
(其中,\(a=\sigma(z)\),\(z=wx+b\)),我们可求出(下面两个相中,已经以
x 和 y 的价值替换为 1 和 0):
\[ \frac{\partial C}{\partial w} =
(a-y)\sigma'(z)x=a\sigma'(z) \tag{55} \]

\[ \frac{\partial C}{\partial b} =
(a-y)\sigma'(z)=a\sigma'(z) \tag{56} \]

假设惦记深入理解这片只相,我们用回顾一下 sigmoid 函数的情,如下图:

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从函数图像我们得以窥见,当函数值类于 1 或 0 时,函数导数趋于
0,从而导致 (55) 和 (56) 两独姿态的价趋于
0。这也是干吗神经元一开始的学习速率会那么慢,而中级有些学习进度会冷不丁提升。

陆续熵函数(cross-entropy)

实质上在蒙,我们还见面发诸如此类的涉:当遇到错误的时候,往往是咱们学到东西顶多之时刻,而一旦我们对团结之失实模糊不彻底,进步反而会更换缓。

一致地,我们想神经网络能够起错误受还快地念。那其实情形是何许的也罢?来拘禁一个概括的事例。

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这个例子只是包含一个神经元,并且只是发一个输入。我们会训练之神经元,使得:当输入为
1 时,输出为 0。我们用权重和不是分别初始化为 0.6 和 0.9。当输入为 1
时,网络出口为 0.82 (\(\frac{1}{1+e^{-1.5}}
\approx
0.82\))。我们下平方差函数来训练网络,并以学习率设为 0.15。

此网络其实早就落伍成一个线性回归模型。下面用一个动画来演示网络的教练过程:

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从中我们得以视,神经元快速地念参数,最终输出 0.09 (已经好类似 0
了)。现在,我们拿参数和错初始化为 2.0,网络的启幕输出为 0.98
(跟我们怀念如果之结果偏离大远),学习率依然为
0.15。看看就无异次网络会咋样学习:

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则学习率和上次同一,但网络同样开始读的进度也十分缓慢,在尽初步的 150
不良学习里,参数与不是几乎没有改动,之后,学习进度突然增高,神经元的出口快速下降到近似
0.0。这无异碰异常令人别,因为当神经元的出口严重错误时,学习的快反而不是异常快。

脚我们得了解问题时有发生的自。神经元于训练的时,学习进度除了给学习率影响外,还让偏导数
\(\partial C/ \partial w\) 和 \(\partial C / \partial b\)
影响。所以,学习进度特别缓慢,也就是是偏导数的价值太小。根据
\[ C=\frac{(y-a)^2}{2} \tag{54}
\]
(其中,\(a=\sigma(z)\),\(z=wx+b\)),我们好求出(下面两单相中,已经拿
x 和 y 的值替换为 1 和 0):
\[ \frac{\partial C}{\partial w} =
(a-y)\sigma'(z)x=a\sigma'(z) \tag{55} \]

\[ \frac{\partial C}{\partial b} =
(a-y)\sigma'(z)=a\sigma'(z) \tag{56} \]

要惦记深入明这点儿只相,我们用回顾一下 sigmoid 函数的情,如下图:

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自打函数图像我们可窥见,当函数值类受 1 或 0 时,函数导数趋于
0,从而导致 (55) 和 (56) 两独姿态的值趋于
0。这吗是胡神经元一开始之求学速率会那么慢,而中级有学习进度会蓦然提升。

引入交叉熵代价函数

假设缓解上进度回落之题材,我们要由简单独偏导数上面做文章。要么换一个代价函数,要么更换
\(\sigma\)
函数。这里,我们运用第一栽做法,将代价函数更换也交叉熵函数(cross-entropy)。

首先用一个事例来介绍陆续熵函数。

如我们发如下神经元:

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虽说陆续熵函数被定义为(这里要 y 是只票房价值值,在 0~1 以内,这样才能够跟 a
相搭):
\[ C=-\frac{1}{n}\sum_x{[y \ln a +
(1-y) \ln (1-a)]} \tag{57} \]
理所当然,直觉上看无产生这函数能化解上速率下降的问题,甚至看无生就好变成一个代价函数。

我们事先说为什么这个函数可以看成代价函数。首先,这个函数是非负的,即
\(C>0\)(注意 \(a\) 的价在 0~1
以内)。其次,当神经元实际出口以及咱们怀念如果的结果接近时,交叉熵函数值会趋近
0。因此,交叉熵满足代价函数的主干原则。

另外,交叉熵解决了深造速率下降之问题。我们用 \(a=\sigma(z)\) 代入 (57)
式,并下链式法则可以博(这里的 \(w_j\) 应该特指最后一叠的参数,即 \(w_j^L\)):
\[ \begin{eqnarray} \frac{\partial
C}{\partial w_j} & = & -\frac{1}{n} \sum_x \left( \frac{y
}{\sigma(z)} -\frac{(1-y)}{1-\sigma(z)} \right) \frac{\partial
\sigma}{\partial w_j} \tag{58}\\ & = & -\frac{1}{n} \sum_x
\left( \frac{y}{\sigma(z)} -\frac{(1-y)}{1-\sigma(z)}
\right)\sigma'(z) x_j. \tag{59}\end{eqnarray} \]
化简上式并拿 \(\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\)
代入后获取:
\[ \frac{\partial C}{\partial
w_j}=\frac{1}{n}\sum_x {x_j(\sigma(z)-y)} \tag{61} \]
斯表达式正是我们纪念要之!它表明,学习速率由 \(\sigma(z)-y\)
控制,也就是说,当误差越老时,学习速率越快。而且免了 \(\sigma'()\) 导致的念速率下降之题目。

类地,我们得测算产生:
\[ \frac{\partial C}{\partial
b}=\frac{1}{n}\sum_x{(\sigma(z)-y)} \tag{62} \]
而今,我们拿接力熵应用及事先的例证中,看看神经元的训练有什么变动。

率先是权重和谬误的初始值为 0.6 和 0.9 的事例:

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可以看网的训进度近乎完美。

下一场是权重和不是初始值均为 2.0 的例子:

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就同一蹩脚,正如我们盼望之那么,神经元学习得老抢。

立刻简单不成试行被,采用的学习率是
0.005。事实上,对于不同的代价函数,学习率要作出相应的调动。

方对交叉熵函数的座谈都不过针对一个神经元,其实十分轻用它们延伸至几近重叠神经元的网布局。假设
\(y=y_1, y_2, \dots\)
是怀念使的纱出口,而 \(a_1^L, a_2^L,
\dots\) 是网络的其实出口,则 cross-entropy 函数可以定义也:
\[ C=-\frac{1}{n}\sum_x \sum_y {[y_j
\ln a_j^L + (1-y_j) \ln(1-a_j^L)]} \tag{63} \]
吓了,介绍了这么多,那我们什么时候用平方差函数,什么时用交叉熵呢?作者为来底见是,交叉熵几乎总是还好的取舍,而因吗与上文提到的等同,平方差函数容易在起来的时刻遇到训练速率较缓慢的题目,而交叉熵则没有这种困扰。当然,这个题材应运而生的前提是平方差函数中之所以了
sigmoid 函数。

引入交叉熵代价函数

一旦化解上学进度下落之题目,我们需要打零星单偏导数上面做文章。要么换一个代价函数,要么更换
\(\sigma\)
函数。这里,我们采取第一种植做法,将代价函数更换为交叉熵函数(cross-entropy)。

先是用一个例证来介绍陆续熵函数。

假定我们发如下神经元:

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虽说陆续熵函数被定义为(这里要 y 是单票房价值值,在 0~1 里面,这样才能够及 a
相搭):
\[ C=-\frac{1}{n}\sum_x{[y \ln a +
(1-y) \ln (1-a)]} \tag{57} \]
本来,直觉上看不来此函数能迎刃而解上学速率下降的问题,甚至看无发这可成为一个代价函数。

咱事先说为何这个函数可以当做代价函数。首先,这个函数是非负的,即
\(C>0\)(注意 \(a\) 的价在 0~1
以内)。其次,当神经元实际出口以及咱们想如果的结果接近时,交叉熵函数值会趋近
0。因此,交叉熵满足代价函数的为主条件。

此外,交叉熵解决了读书速率下降之问题。我们用 \(a=\sigma(z)\) 代入 (57)
式,并动用链式法则可以获(这里的 \(w_j\) 应该特指最后一层的参数,即 \(w_j^L\)):
\[ \begin{eqnarray} \frac{\partial
C}{\partial w_j} & = & -\frac{1}{n} \sum_x \left( \frac{y
}{\sigma(z)} -\frac{(1-y)}{1-\sigma(z)} \right) \frac{\partial
\sigma}{\partial w_j} \tag{58}\\ & = & -\frac{1}{n} \sum_x
\left( \frac{y}{\sigma(z)} -\frac{(1-y)}{1-\sigma(z)}
\right)\sigma'(z) x_j. \tag{59}\end{eqnarray} \]
化简上式并拿 \(\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\)
代入后获取:
\[ \frac{\partial C}{\partial
w_j}=\frac{1}{n}\sum_x {x_j(\sigma(z)-y)} \tag{61} \]
这个表达式正是我们纪念要之!它表明,学习速率由 \(\sigma(z)-y\)
控制,也就是说,当误差越怪时,学习速率越快。而且免了 \(\sigma'()\) 导致的习速率下降的问题。

类似地,我们可以算起:
\[ \frac{\partial C}{\partial
b}=\frac{1}{n}\sum_x{(\sigma(z)-y)} \tag{62} \]
今日,我们以接力熵应用到前的例子中,看看神经元的教练有什么变化。

先是是权重和偏差的初始值为 0.6 和 0.9 的例证:

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可看看网的训练进度近乎完美。

接下来是权重和错误初始值均为 2.0 的事例:

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眼看无异次等,正如我们期待之那么,神经元学习得不得了快。

就片差实验被,采用的学习率是
0.005。事实上,对于不同的代价函数,学习率要作出相应的调整。

地方对交叉熵函数的讨论都不过针对一个神经元,其实生易用她延伸至差不多交汇神经元的大网布局。假设
\(y=y_1, y_2, \dots\)
是思念如果之网络出口,而 \(a_1^L, a_2^L,
\dots\) 是网的实际上出口,则 cross-entropy 函数可以定义为:
\[ C=-\frac{1}{n}\sum_x \sum_y {[y_j
\ln a_j^L + (1-y_j) \ln(1-a_j^L)]} \tag{63} \]
好了,介绍了这么多,那咱们啊时候用平方差函数,什么时用交叉熵呢?作者给来的见解是,交叉熵几乎总是还好之取舍,而由吗与上文提到的平等,平方差函数容易当起来的时刻遇到训练速率较迟缓的问题,而交叉熵则没有这种困扰。当然,这个题目应运而生的前提是平方差函数中之所以了
sigmoid 函数。

穿插熵到底是啊,它是怎来的?

就同节省吃,我们怀念知道,第一只吃螃蟹的人口是怎想到交叉熵函数的。

若果我们发现了上学速率下降之自在 \(\sigma'(z)\)
函数,我们要怎样缓解此问题吧?当然,方法发生为数不少,这里我们着想这样的思绪:是否会检索一个初的代价函数,将
\(\sigma'(z)\)
这个桩消掉?假如我们想最后的偏导数满足下面的样式:
\[ \frac{\partial C}{\partial w_j}=x_j
(a-y) \tag{71} \]

\[ \frac{\partial C}{\partial b}=(a-y)
\tag{72} \]

立片单偏导数能要神经网络在误差越充分时,训练进度更快。

追思 BP 的季只公式,可以落:
\[ \frac{\partial C}{\partial
b}=\frac{\partial C}{\partial a}\sigma'(z) \tag{73} \]
这里的 \(\sigma()\) 函数采用的凡
sigmoid,所以 \(\sigma'(z)=\sigma(z)(1-\sigma(z))=a(1-a)\),将这姿势代入
(73) ,得到:
\[ \frac{\partial C}{\partial
b}=\frac{\partial C}{\partial a}a(1-a) \]
跟咱们最终的目标 (72) 式比较,需要满足:
\[ \frac{\partial C}{\partial
a}=\frac{a-y}{1(1-a)} \tag{75} \]
针对 (75) 进行积分后,便拿走:
\[ C=-\frac{1}{n}\sum_x{[y\ln
a+(1-y)\ln(1-a)]}+constant \tag{77} \]
迄今,我们早已推出了接力熵函数的款式。

本来啦,交叉熵真正的来源于是信息论,更切实的介绍过了如约课程的范围,所以就算不再深入了。

陆续熵到底是啊,它是怎来之?

眼看无异于省中,我们怀念清楚,第一只吃螃蟹的人口是怎么想到交叉熵函数的。

使我们发现了学速率下降之自在 \(\sigma'(z)\)
函数,我们而怎么样缓解者问题也?当然,方法发生很多,这里我们考虑这么的思绪:是否会招来一个新的代价函数,将
\(\sigma'(z)\)
这个起消掉?假如我们盼望最后的偏导数满足下面的款式:
\[ \frac{\partial C}{\partial w_j}=x_j
(a-y) \tag{71} \]

\[ \frac{\partial C}{\partial b}=(a-y)
\tag{72} \]

即半独偏导数能使神经网络在误差越怪时,训练进度越来越快。

追忆 BP 的季只公式,可以取:
\[ \frac{\partial C}{\partial
b}=\frac{\partial C}{\partial a}\sigma'(z) \tag{73} \]
这里的 \(\sigma()\) 函数采用的是
sigmoid,所以 \(\sigma'(z)=\sigma(z)(1-\sigma(z))=a(1-a)\),将以此姿势代入
(73) ,得到:
\[ \frac{\partial C}{\partial
b}=\frac{\partial C}{\partial a}a(1-a) \]
及咱们最终之目标 (72) 式比较,需要满足:
\[ \frac{\partial C}{\partial
a}=\frac{a-y}{1(1-a)} \tag{75} \]
针对 (75) 进行积分后,便获得:
\[ C=-\frac{1}{n}\sum_x{[y\ln
a+(1-y)\ln(1-a)]}+constant \tag{77} \]
由来,我们都推出了接力熵函数的款型。

理所当然啦,交叉熵真正的来源于是信息论,更具体的介绍过了准学科的范畴,所以就算不再深入了。

Softmax

前方一样节省中,我们主要介绍了接力熵如何化解训练进度下跌的题目,这是自代价函数的角度思考问题。其实,我们还有其他一样种办法,那就是更换
\(\sigma()\)
函数。这里而简单介绍一个新的 \(\sigma()\) :Softmax。

Softmax 的效益跟 sigmoid 类似,只不过前者的函数形式是这样的:
\[
a_j^L=\frac{e^{z_j^L}}{\sum_k{e^{z_k^L}}} \tag{78} \]
⚠️分母是享有出口神经元的总和。这代表,经过 Softmax
函数后,所有神经元的输出会呈现出概率分布的体制。

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当增大其中一个神经元输出时,其他神经元的输出值会变换多少,而且转移多少的总和相当前者多的价值。反之亦然。这是坐具有神经元的输出值总和始终为
1。

除此以外,Softmax 的输出镇为正。

Softmax

眼前一模一样省吃,我们要介绍了接力熵如何化解训练进度下滑之问题,这是起代价函数的角度思考问题。其实,我们还有另外一样种方法,那就是更换
\(\sigma()\)
函数。这里而简明介绍一个新的 \(\sigma()\) :Softmax。

Softmax 的效力跟 sigmoid 类似,只不过前者的函数形式是这么的:
\[
a_j^L=\frac{e^{z_j^L}}{\sum_k{e^{z_k^L}}} \tag{78} \]
⚠️分母是装有出口神经元的总额。这表示,经过 Softmax
函数后,所有神经元的输出会呈现出概率分布的体。

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当增大其中一个神经元输出时,其他神经元的输出值会换多少,而且转换多少的总和相当前者多的值。反之亦然。这是盖拥有神经元的输出值总和始终为
1。

除此以外,Softmax 的输出镇为正值。

Softmax 解决上学速率下降的题目

眼看无异于糟糕,我们定义一个 log-likelihood 代价函数,通过它们来了解 Softmax
如何缓解 learning slowdown 的问题。

log-likelihood 的函数形式呢:
\[ C \equiv -\ln a_y^L \tag{80}
\]
先行解释一下 \(a_y^L\),比方说,在
MNIST 数据集中,我们若判一致摆图片属于 10
类中的哪一样看似,那么,输出结果当是一个 10 维的于量 \(a^L\),而实在结果则是数字 \(y\),比如 7。那么,\(a_y^L\) 则表示 \(a_7^L\)
这个桩对应之几率值有多胜似。如果概率值(靠近
1)越强,证明猜测结果越对,那么 \(C\) 的价值就是更小,反的进一步老。

起了代价函数后,我们依旧要出偏导数:
\[ \frac{\partial C}{\partial
b_j^L}=a_j^L-y_j \tag{81} \]

\[ \frac{\partial C}{\partial
w_{jk}^L}=a_k^{L-1}(a_j^L-y_j) \tag{82} \]

此处不有类似 sigmoid 导数那样使攻速率下降之情况。

(写及此地的上,我猛然来一个疑惑:不管是此处的
Softmax,还是的陆续熵,我们还只是针对最后一重叠的导数和偏差求了偏导,但眼前面层的偏导数却未曾测算,怎么能定前面层的偏导就不见面赶上
\(\sigma'()\) 趋于 0
的题目呢?要解,根据 BP 算法的公式,误差有诸如此类的传递公式:\(\delta^l\)=\(((W^{l+1})^T \delta^{l+1}) \odot
\sigma'(z^l)\),注意,这里仍然会面世 \(\sigma'()\),而前面层的权重和谬误的偏导数又是冲此误差计算的,这样的话,前面层的就学速率下降的题目不还是无解决吧?这个题材先暂时放正,看看之后作者有没有发生解答。)

形容了这般多,我们还要使问一个类之题目:什么时用 sigmoid 和
cross-entropy,什么时候用 softmax 和
log-likelihood。事实上,大部分情下就简单单选择都能够带不利的结果,当然,如果想使出口结果表现概率分布的说话,Softmax
无疑会重复好。

Softmax 解决学习速率下降的题目

当下无异于软,我们定义一个 log-likelihood 代价函数,通过它来打探 Softmax
如何化解 learning slowdown 的问题。

log-likelihood 的函数形式为:
\[ C \equiv -\ln a_y^L \tag{80}
\]
先行解释一下 \(a_y^L\),比方说,在
MNIST 数据集中,我们若判一致张图片属于 10
类中的哪一样近似,那么,输出结果应该是一个 10 维的通向量 \(a^L\),而真实结果则是数字 \(y\),比如 7。那么,\(a_y^L\) 则表示 \(a_7^L\)
这个桩对应的票房价值值有多高。如果概率值(靠近
1)越强,证明猜测结果更加对,那么 \(C\) 的价值就是逾小,反的愈发老。

发了代价函数后,我们还是要出偏导数:
\[ \frac{\partial C}{\partial
b_j^L}=a_j^L-y_j \tag{81} \]

\[ \frac{\partial C}{\partial
w_{jk}^L}=a_k^{L-1}(a_j^L-y_j) \tag{82} \]

此处不设有类似 sigmoid 导数那样使学习速率下降的图景。

(写到此的时光,我突然发一个疑惑:不管是这里的
Softmax,还是的陆续熵,我们且只是针对终极一重合的导数和错求了偏导,但前面面层的偏导数却从没算,怎么能肯定前面层的偏导就不见面逢
\(\sigma'()\) 趋于 0
的问题吧?要知道,根据 BP 算法的公式,误差有这么的传递公式:\(\delta^l\)=\(((W^{l+1})^T \delta^{l+1}) \odot
\sigma'(z^l)\),注意,这里还会冒出 \(\sigma'()\),而前面层的权重和不是的偏导数又是基于是误差计算的,这样的话,前面层的学习速率下降的题材非还是没解决吗?这个问题先小放着,看看之后作者有没有发解答。)

写了这样多,我们又如咨询一个近乎之题材:什么时候用 sigmoid 和
cross-entropy,什么时候用 softmax 和
log-likelihood。事实上,大部分情况下立刻片单挑选都能带不错的结果,当然,如果想使出口结果表现概率分布的口舌,Softmax
无疑会另行好。

参考

  • Improving the way neural networks
    learn

参考

  • Improving the way neural networks
    learn

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