PCA,到底在开什么。降维算法一 : PCA (Principal Component Analysis)

很久以前写过相同首 PCA
的小白教程,不过出于这针对
PCA 的明亮流于表面,所以才是介绍了一晃 PCA
的算法流程。今天当频繁图课上间或听到 PCA
在图像压缩上的使用,突然掌握了几许实质性的东西,这里趁热记录一波。

PCA简介

于重重领域的研究暨以中,往往要针对反映事物的大都独变量进行大气的观赛,收集大量多少以便进行分析寻找规律。多变量大样本的会也研究暨行使提供了增长的音讯,但也以早晚程度达到加了数码搜集的工作量,更要的凡当大多数气象下,许多变量之间可能是相关性,从而增加了问题浅析的繁杂,同时针对分析带来诸多不便。如果个别针对每个指标进行分析,分析往往是孤立的,而未是概括的。盲目减少指标会损失很多音讯,容易发生错误的下结论。
为此要找到一个客观的办法,在调减用分析的指标又,尽量减少原指标包含信息的损失,以达成对所采集数据进行到剖析的目的。由于每变量间在必然的有关关系,因此发生或用比较少之概括指标分别综合是吃各个变量中之个信息。主成分分析和因子分析就属于即类降维的不二法门。

在PCA中,数据由原本的坐标系转化到新的坐标系中。当然这里新的坐标系也无是不管设定的,而是应当依据数据我的特色来计划。通常率先只新为标轴选择的凡土生土长数据方差最酷之样子次独以标轴是同第一个盖标轴正交且具有最老方差的取向。这词话的意就是是,第二独挑选的趋势应该与第一个方向有着特别死的相关性。而出十分强之相关性的口舌,那么选中间一个即使ok了。然后按照此类推,选出后的来头,其数据应该与原来数据的特点数据一致。
寻常咱们会意识,大部分底方差就集中在眼前几独趋势中,因此可忽略后面的自由化,达到降维的力量。
下一场开上出这么一段落话,介绍实现该过程的伪代码。

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圈无晓得这里的协方差矩阵是何,为什么是这样子的?
只好从初中数学的方差开始读了。。。

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主导统计学概念

统计学里有几乎单核心的概念,有均值,方差,标准差等等。比如有一个涵盖n个样本的汇聚:X={x1,…,xn}
那么,

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依据先俺们所理解的,方差是为此来衡量数据的骚乱程度的,如果大部分数据还当都值附近,那么方差就会见是坏有些之值。

PCA 算法

首先还是略回顾下 PCA 的算法流程。

我们管样本数据 \(x\)
归一化后,计算其协方差矩阵 \(C_x\),然后计算 \(C_x\) 的特征向量,构造出一个特征向量矩阵
\(A\),最后把 \(x\)
通过该矩阵映射到一个初的空间,得到的朝量 \(y\) 就是能反映 \(x\) 主要成分的于量了。

协方差是呀

剖析了了方差我们再度望啥是协方差。
方差描述的凡那本身数据的情形,如果我们怀念清楚,某2种多少里的涉嫌,该怎么描述为,比如,男生帅气程度(or猥琐程度),和受女孩子欢迎程度。假设这里发出样本集合f(x,y)=(xi,…,yi),x表示男生帅气指数,y表示相应的让女生欢迎指数,那么2者之间的涉嫌程度足以这样定义:

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那由点能,如果结果为在,那么证明2者是刚刚相关,男生越帅,女生更是喜欢。。(废话-.-)

PCA 在召开呀

那么,这种空间映射出啊意思也?问题要回去协方差矩阵 \(C_x\)
上。我们清楚,协方差矩阵是一个针对性如矩阵,在线性代数中,对如矩阵的特征向量是相互正交的。而我们把
\(x\) 通过此特征向量矩阵映射到
\(y\),其实就是是把本的多少由最初的
\([e_1, e_2, \dots, e_n]\)
的单位坐标系,调整暨这些刚刚交的特征向量组成的坐标系下,如下图所示:

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这种坐标变换的意思并且以哪也?

如果仔细分析,我们就会见发现,这些新获得的往量 \(y\) 的均值为 \(0\),而且它的协方差矩阵为:
\[ C_y=AC_xA^T=\begin{bmatrix}
\lambda_1 & & & 0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & &
& \lambda_n \end{bmatrix} \]
这里,\(A\) 是由 \(C_x\)
的特征向量组成的矩阵,它的率先执代表最好深特征值对应的特征向量,第二尽表示第二大特征值对应之特征向量。\(C_y\) 对角线上的 \(\lambda_k\) 代表 \(C_x\)
的特性值,而且是准从十分至有些排序的(\(\lambda_1 > \lambda_2 > \dots >
\lambda_n\))。

以此新的协方差矩阵有一个万分重大之性,除了对角线上的元素,其他因素都是
0。要解,协方差矩阵中,对角线上的因素表示方差,非对角线上之要素表示协方差。这证明,经过
PCA 处理后,我们拿本的数据 \(x\),转变成梯次分量之间无其余关系(协方差啊
0)的数据 \(y\)!我当就多亏 PCA
的精髓所在,也是咱们采用 PCA 算法的素目标。

另外,PCA 还不时用来降维处理,那么为什么 PCA 的降维效果会那么好?

率先使显一点,降维不是不管都能减低的,最好的降维方法是要尽可能保留重要之音,而忽视次要的音信。在
PCA
中,我们一般是对准协方差矩阵的特征值按自十分及有些排序,然后舍弃一些比较粗的特征值(以及这些特征值对应之特征向量),这样更计算得到
\(y\)
后,它的协方差矩阵可能是以此样子的:
\[ C_y=\begin{bmatrix} \lambda_1 & & &
0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_k
\end{bmatrix} \]
(我们放弃掉了 \(n-k\)
个特征向量,将数据由 \(n\) 维降到
\(k\) 维)

假使了解,这些特征值(或者说方差)都是遵照自很及多少排序的,也就是说,我们以降维时,舍弃掉了那些特征值比较粗的份额。这么做是符合常理的,因为数量的方差越充分,证明分布更为广,这样,我们还原这些数据的难度是越来越充分之,而方差越小,证明数据分布越集中,还原它的难度就更聊(方差为
0
的讲话,用一个勤便好象征所有样本了)。所以,降维时,我们尽量保存那些方差大之数据,而忽略那些方差小的。本文开篇之图备受叫有一个影像的诠释,我们管一个二维的数码映射到同样维时,也是先期映射到方差大的那么无异维上,这样,原数的布规律可极其可怜限度的保留下,信息之保存为是无限完整的。

协方差矩阵是啊

还省协方差矩阵,上面提到的协方差是二维数据的情,那么要是多维,比如三维,x,y,z.那么简单个别间的协方差就来6只,再长自己跟友好之协方差就发9独,可以打成矩阵的样式了。

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PCA与协方差矩阵

谈得了协方差矩阵,再回头看看PCA,PCA和之矩阵又生出甚关系啊。
PCA的意见就是是用高维空间的数映射到低维空间,落维度之间的相关性,并且使我维度的方差尽可能的非常。那么哪种多少方式可以发挥维度之间的相关性以及,维度本身的方差呢?就是方提到的协方差矩阵。协方差矩阵对角线上是维度的方差别因素是鲜零星维度之间的协方差(即相关性)

PCA的目的之一:降低维度之间的相关性,也即说减多少协方差矩阵非对角线上之值。如何减多少也?可以假设协方差矩阵变成对角矩阵。对角化后底矩阵,其针对性角线上是协方差矩阵的特征值。这里还要提到了特征值,看看它究竟有何潜在的义。

特征值与特征向量

根据那定义Ax=cx,其中A是矩阵,c是特色值,x是特征向量;
Ax矩阵相乘的意思就是是,矩阵A对向量x进行同样雨后春笋之换(旋转或者拉伸),其功能相当一个经常反复c乘以向量x。
普普通通我们求特征值和特征向量是想念明白,矩阵能要哪些向量(当然是特征向量)只出拉伸,其拉伸程度如何(特征值的分寸)。这个实在的义在,是以为我们看清矩阵能当谁方向(特征向量)产生无限充分之变动意义。

哼于以下来自书本的图:

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回头再拘留才的协方差矩阵对角化之后,得到了协方差矩阵的特征值;那么我们不怕能够亮协方差矩阵在特征值对应之特征向量的动向上产生太深之成形意义。当然这里的特征值会有多只,我们就待得到最好要命的几乎独就是可了,特征值更充分,表示其在特征向量上的浮动更怪。我们将当下几乎独特征值对应的特征向量的取向作为新的维度,于是,降维的目的及了。。。

数量降维

  
为了求证什么是数据的主成分,先从数量降维说自。数据降维是怎么回事儿?假设三维空间中发出雷同名目繁多接触,这些点分布于一个了原点的斜面上,如果您用当坐标系x,y,z这三独轴来表示马上组数据以来,需要采取三单维度,而实际,这些点之分布就是于一个二维的面上,那么,问题有以乌?如果您又仔细揣摩,能不能够将x,y,z坐标系旋转一下,使数码所在平面及x,y平面重合?这就本着了!如果把旋转后的坐标系记为x’,y’,z’,那么这组数的象征只用x’和y’两个维度表示即可!当然矣,如果想重操旧业原的意味方法,那就算得把当下片独坐标中的变换矩阵存下来。这样虽可知拿数据维度降下了!但是,我们如果看到这进程的原形,如果将这些数据按行或者按列排成一个矩阵,那么这个矩阵的秩就是2!这些多少里是发出相关性的,这些数据整合的过原点的向量的极其深线性无关组包含2个向量,这即是为什么同样开始就是借而平面过原点的因!那么一旦平面不过原点呢?这虽是数据中心化的缘故!将坐标原点平移到数量主导,这样原本不系的多寡在斯新坐标系中虽生出相关性了!有趣之凡,三碰一定共面,也就是说三维空间中随意三沾中心化后还是线性相关的,一般来讲n维空间受到之n个点一定能以一个n-1维子空间中分析!
  
上一样段子文字被,认为把多少降维后并不曾扔任何东西,因为这些数量在面以外的老三个维度的分量都为0。现在,假要这些数据以z’轴有一个大有点之振动,那么我们依旧用上述的老二维表示这些数据,理由是我们可以认为当下片只轴的音讯是数码的主成分,而这些信于咱们的解析都足足了,z’轴上的振动很有或是噪声,也就是说本来就组数是生相关性的,噪声的引入,导致了数不完全相关,但是,这些数据以z’轴上之分布和原点构成的夹角非常小,也就是说在z’轴上发坏特别之相关性,综合这些考虑,就好看数额以x’,y’
轴上之黑影成了多少的主成分!
  特征选择的问题,其实就算是如删减的特色主要是和相近标签无关之表征。而此的表征很多凡是与类似标签有关的,但其中是噪声或者冗余。在这种情形下,需要平等栽特色降维的方法来减少特征数,减少噪声与冗余,减少过度拟合的可能。
  PCA的思想是将n维特征映射到k维上(k<n),这k维是新的正交特征。这k维特征称为主成分,是重新组织出的k维特征,而休是大概地打n维特征被失去除别n-k维特征。

PCA实例

现要来雷同组数如下:

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施行表示了样例,列代表特征,这里来10独样例,每个样例两个特性。可以如此看,有10首文档,x是10首文档中“learn”出现的TF-IDF,y是10篇文档中“study”出现的TF-IDF。
**
第一步**,分别求x和y的平均值,然后对有所的样例,都减去相应之均值。这里x的均值是1.81,y的均值是1.91,那么一个样例减去净值后便为(0.69,0.49),得到

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第二步,求特征协方差矩阵,如果数量是3维,那么协方差矩阵是:

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此地只有x和y,求解得:

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对角线上分别是x和y的方差,非对角线上是协方差。协方差是权两个变量同时转的变迁程度。协方差大于0表示x和y若一个加,另一个啊加进;小于0表示一个搭,一个减。如果x和y是统计独立的,那么二者之间的协方差就是0;但是协方差是0,并无可知说明x和y是独的。协方差绝对价更老,两者对相互的震慑越怪,反的进一步聊。协方差是没有单位的量,因此,如果同样的星星点点个变量所采取的量纲发生变化,它们的协方差呢会发树枝上之扭转。

第三步,求协方差的特征值和特征向量,得到

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面是片只性状值,下面是应和的特征向量,特征值0.0490833989针对性诺特征向量为第一长长的向量,这里的特征向量都归一化为单位向量。

第四步,将特征值按照自生到稍微的逐一排序,选择中间最为酷之k个,然后拿其相应的k个特征向量分别作列向量组成特征向量矩阵。这里特征值只发生个别单,我们摘其中最为可怜之良,这里是1.28402771,对应的特征向量是(-0.677873399,
-0.735178656)T。
第五步,将样本点投影到选择的特征向量上。假设样例数为m,特征数为n,减去都值后的样书矩阵为DataAdjust(mn),协方差矩阵是nn,选取的k个特征向量组成的矩阵为EigenVectors(nk)。那么投影后的数额FinalData为FinalData(101)
= DataAdjust(10*2矩阵) x 特征于(-0.677873399, -0.735178656)T
得到的结果是

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这般,就将原始样例的n维特征成为了k维,这k维就是原来特征于k维上的阴影。
 上面的数好认为是learn和study特征融合也一个初的特点叫做LS特征,该特征基本上代表了马上点儿只性状。上述过程要下图2描述:

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正号表示先处理后底样本点,斜着的星星点点长达线便分别是正交的特征向量(由于协方差矩阵是指向如的,因此其特征向量正交),最后一步之矩阵乘法就是以原本样本点分别于特征向量对应之轴上做投影。

整个PCA过程相似及其简单,就是求协方差的特征值和特征向量,然后开多少易。但是有没发生道大神奇,为什么求协方差的特征向量就是极致美之k维向量?其偷暗藏的意思是什么?整个PCA的含义是啊?

PCA推导

先期看下就幅图:

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先要只出二维,即单独发些许个变量,它们由横坐标和纵坐标所表示;因此每个观测值都有对应被当时有限独以标轴的一定量独盖标值;如果这些多少形成一个椭圆形状的点阵,那么是椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向及,数据变化挺少;在太的图景,短轴如果退化成一点,那只有在长轴的方向才会讲这些点的变型了;这样,由二维暨平等维的降维就自然好了。
达图备受,u1就是主成分方向,然后于二维空间中取和u1方向正交的自由化,就是u2的趋势。则n个数据在u1帧的离散程度极其酷(方差最特别),数据在u1臻之黑影代表了原始数据的绝大部分音,即使不考虑u2,信息损失也非多。而且,u1、u2免相干。只考虑u1常,二维降为同维。
椭圆的长短轴相差得尤为充分,降维也愈来道理。

最为要命方差理论

于信号处理中认为信号具有较充分的方差,噪声有较小之方差,信噪比就是信号与噪声的方差比,越怪进一步好。一经前方的觊觎,样本在u1达到的投影方差于生,在u2达成之投影方差于小,那么可看u2达之黑影是出于噪声引起的。
故此我们认为,最好的k维特征是拿n维样本点转换为k维后,每一样维上的范本方差都很非常。
以我们拿生图中之5个点投影到某个同维上,这里用同一修过原点的直线表示(数据现已中心化):

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如我们选择简单长长的不同的直线做投影,那么左右少于长中谁好啊?根据我们事先的方差最大化理论,左边的好,因为影子后的样本点之间方差最深(也得以说凡是影子的绝对化值之和极端特别)。
算投影的方法展现下图5:

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贪图备受,红色点表示样例x(i),蓝色点表示于u上之影子,u是直线的斜率也是直线的大势向量,而且是单位向量。蓝色点是x(i)以u上之投影点,离原点的偏离是<xi,u>
<x,u>(即xTu x(i)T或者uTx
uTx(i))。

极端小二乘法

我们动最小二就法来规定各个主轴(主成分)的可行性
对加的同组数据(下面的论述中,向量一般均指列向量):

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其数据基本在:

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多少中心化(将坐标原点移到样本点的中心点):

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中心化后底数码在第一主轴u1样子上分布散的无限开始,也就是说在u1势上的阴影的断然值之和极致酷(也可说方差最特别),计算投影的艺术方面已阐述,就是用x与u1开内积,由于单独需要要求u1的趋势,所以设u1乎是单位向量。

于此处,也就是最大化下式:

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是因为矩阵代数相关文化会,可以本着绝对值符号项进行平方处理,比较便宜。所以随后就是最大化下式:

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有限个向量做内积,可以转正成为矩阵乘法:

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之所以目标函数可以象征也:

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括号内纵使矩阵乘法表示向量内积,由于列向量转置以后是行向量,行向量乘以列向量得到一个往往,一个往往之转置还是该本人,所以还要有何不可将对象函数化为:

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去括号:

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而由于u1及i无关,可以将到要与符外面,上式化简为:

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学过矩阵代数的同班也许早已发现了,上式括号内请与晚的结果,就相当给一个深矩阵乘以自家之转置,其中,这个特别矩阵的形式如下:

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X矩阵的第i列就是xi

于是有:

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据此目标函数最终变成:

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其中的
u1TXXTu1即是一个二次型,
我们要的XXT有平不过征值为λ,对应的特征向量为ξ,有

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所以λ >= 0 , XXT半正定的对称矩阵,
u1TXXTu1一半刚好定阵的二次型,由矩阵代数知识得出,目标函数存在不过可怜价值!
下面我们求解最老价值、取得最深值时u1底自由化就半单问题。
先解决第一独问题,对于向量x的二范数平方为:

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一如既往,目标函数也堪象征成映射后底向量的二范数平方:

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将二次型化成一个范数的款型,由于u1抱单位向量,最大化目标函数的主干问题也不怕转账为:对一个矩阵,它对一个向量做变换,变换前后的向量的模长伸缩尺度如何才会顶特别?我们发出矩阵代数中的定理知,向量经矩阵映射前后的向量长度的较的极可怜价值就是是者矩阵的尽老奇异值,即:

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式中,σ1凡矩阵A的太酷奇异值(亦凡矩阵A的二范数),它当
AAT(或ATA)的极端充分特色值开平方。
针对随问题吧,XXT是半正定对称阵,也就意味着它的特征值都高于等于0,且不同特征值对应之特征向量是正交的,构成所在空间的平等组单位刚交基。

重复解决第二只问题,对一般情形,设对称阵

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的n个特征值分别吗:

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相应的单位特征向量为:

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任取一个向量x,用特征向量构成的半空中受到的立即组基表示为:

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则:

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所以:

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本着第二独问题,我们取上式中之

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,目标函数

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获最充分价值,也尽管是

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最为老特征值时,对应之特征向量的动向,就是首先预示成分u1之方向!(第二预告成分的势头也XXT的老二大特征值对应之特征向量的来头,以此类推)。
说明完毕。
主成分所占满信息的比重可用下式计算:

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典礼中分母为XXT具奇异值平方和,分子也所选择的前面k大奇异值平方和。
稍稍研究工作表明,所选择的主轴总长度占所有主轴长度的同的盖85%
即可,其实,这仅是一个大概的说法,具体选多少个,要扣押其实情况而一定。

参考资料

[1]From
主成分分析(PCA)原理详解
[2]From
机械上实战-PCA主成分分析、降维